2018届东城区高三文科数学模拟试卷及答案
数学不做不练将很难在高考中取得好成绩，那么我们就需要多找一些数学模拟试卷来多做多练，以下是本站小编为你整理的2018届东城区高三文科数学模拟试卷，希望能帮到你。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集 ，集合 ，那么集合 为
(A) (B) (C) (D)
(2) “ ”是“直线 与直线 平行”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(3)已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为
(A) (B)
(C) (D)
(4)执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ，
则判断框内应填入的条件是
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧面积是
(A) (B)
(C) (D)
(6)已知点 ，抛物线 的焦点是 ，若抛物线上存在一点 ，使得 最小，则 点的坐标为
(A) (B) (C) (D)
(7)对于函数 ，部分 与 的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 4 5 8 1 3 5 2 6
数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图象上，则 的值为
(A)9394 (B)9380 (C)9396 (D)9400
(8)已知定义在 上的函数 的对称轴为 ，且当 时， .若函数 在区间 ( )上有零点，则 的值为
(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知 是虚数单位，那么 等于 .
(10)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 次体育测试成绩
的茎叶图，则甲 次测试成绩的平均数是 ，乙 次测试成
绩的平均数与中位数之差是 .
(11)不等式组 表示的平面区域为 ，则区域 的面积为 ， 的最大值为 .
(12)从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 .
(13)函数 的图象为 ，有如下结论：①图象 关于直线 对称;②图象 关于点 对称;③函数 在区间 内是增函数，其中正确的结论序号是 .(写出所有正确结论的序号)
(14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一
行增加两项，若 ， 则位于第10行的第8列的项
等于 ， 在图中位于 .(填第几行的第几列)
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
在△ 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(Ⅰ)求角 ;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值.
(16)(本小题共14分)
如图，已知 平面 ， 平面 ， 为 的中点，若
.
(Ⅰ)求证： 平面 ;
(Ⅱ)求证：平面 平面 .
(17)(本小题共13分)
为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：
优秀 良好 合格
男生人数
380 373
女生人数
370 377
(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?
(Ⅱ)若 ， ，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.
(18)(本小题共14分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)讨论 的单调性;
(III)若 存在最大值 ，且 ，求 的取值范围.
(19)(本小题共13分)
已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ) ， ， ， 是椭圆 上的四个不同的点，两条都不和 轴垂直的直线 和 分别过点 ， ，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值.
(20)(本小题共13分)
设 是由 个有序实数构成的一个数组，记作： .其中 称为数组 的“元”， 称为 的下标. 如果数组 中的'每个“元”都是来自 数组 中不同下标的“元”，则称 为 的子数组. 定义两个数组 ， 的关系数为 .
(Ⅰ)若 ， ，设 是 的含有两个“元”的子数组，求 的最大值;
(Ⅱ)若 ， ，且 ， 为 的含有三个“元”的子数组，求 的最大值.
2018届东城区高三文科数学模拟试卷答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
(1)B (2)C (3)C (4)A
(5)C (6)D (7)A (8)A
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
(9) (10) (11) ，
(12) (13)①②③ (14) 第 行的第 列
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
(15)(共13分)
解：(Ⅰ)因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为在△ 中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
(Ⅱ)由余弦定理 ，
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
当且仅当 时， 取得最大值 .
(16)(共14分)
证明：(Ⅰ)取 的中点 ，连结 ， .
因为 是 的中点，
则 为△ 的中位线.
所以 ， .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(Ⅱ)因为 ， 为 的中点，
所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，
所以 .
因为 ，
所以 平面 .
因为 ，
所以 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面 .
(17)(共13分)
解：(Ⅰ)由表可知，优秀等级的学生人数为：
.
因为 ，
故在优秀等级的学生中应抽取 份.
(Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 .
因为 ， ， ，且 ， 为正整数，
所以数组 的可能取值为：
， ， ，…， ，共 个.
其中满足 的数组 的所有可能取值为：
， ， ， ， 共5个，即事件 包含的基本事件数为 .
所以 .
故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为 .
(18)(共14分)
解：(Ⅰ)当 时， .
.
所以 .
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
(Ⅱ)函数 的定义域为 ，
.
当 时，由 知 恒成立，
此时 在区间 上单调递减.
当 时，由 知 恒成立，
此时 在区间 上单调递增.
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
此时 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减.
(III)由(Ⅱ)知函数 的定义域为 ，
当 或 时， 在区间 上单调，此时函数 无最大值.
当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
所以当 时函数 有最大值.
最大值 .
因为 ，所以有 ，解之得 .
所以 的取值范围是 .
(19)(共13分)
(Ⅰ)解：由已知 ，
所以 .
所以 .
所以 ： ，即 .
因为椭圆 过点 ，
得 ， .
所以椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知椭圆 的焦点坐标为 ， .
根据题意， 可设直线 的方程为 ，
由于直线 与直线 互相垂直，则直线 的方程为 .
设 ， .
由方程组 消 得
.
则 .
所以 = .
同理可得 .
所以 .
(20)(共13分)
解：(Ⅰ)依据题意，当 时， 取得最大值为2.
(Ⅱ)①当 是 中的“元”时，由于 的三个“元”都相等，及 中 三个“元”的对称性，可以只计算 的最大值，其中 .
由 ，
得 .
当且仅当 ，且 时， 达到最大值 ，
于是 .
②当 不是 中的“元”时，计算 的最大值，
由于 ，
所以 .
，
当且仅当 时，等号成立.
即当 时， 取得最大值 ，此时 .
综上所述， 的最大值为1.
