勾股定理证明题试题及参考答案

勾股定理是数学常见的定理，这些定理该怎么证明呢？证明的方法是怎样的呢？下面就是本站小编给大家整理的勾股定理证明题内容，希望大家喜欢。

　　勾股定理证明题一

已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的结论。(要详细解题过程)

因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D

所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE

又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC

即，∠DFB=∠AED=90度

根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D

所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE

又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC

即，∠DFB=∠AED=90度

根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

　　勾股定理证明题二

设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接,MC

由勾股定理

MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)

BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)

CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)

CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)

MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)

由(1)(2)(3)(4)(5)可得

AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2

即AE^2=AF^2

AE=AF

　　中学勾股定理课堂实录

师:我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。首先请大家欣赏图片(屏显)：这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，在这个会场上到处可以看到一个像旋转的风车一样的图案，这就是左下角——大会的会徽，请大家仔细观察：这个会徽是由哪些图形组成的? 生1:三角形和正方形。

师:什么三角形?

生2:直角三角形。

师:这些三角形和正方形分别在什么位置?是怎么摆放的?

生:四个直角三角形围成一个正方形，正方形被它们包围着。

师:好!请坐!那么为什么选它作为大会的会徽呢?这里蕴藏着一个伟大的发现，今天我们就来学习这个发现：勾股定理。(板书18.1勾股定理)我国是最早发现勾股定理的国家之一，请大家阅读下一段资料，谁来读一读?

生:(生读)中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着周公与商高的.一段对话，周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆的这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形 “矩” (即直角)得到的一条直角边 “勾”等于3，另一条直角边 “股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”必定是5，这个原理在大禹治水的时候就总结出来的呵!”

师:在资料中：商高与周公谈到的是什么三角形?

生: 直角三角形。

师:谈到的是直角三角形的什么关系?

生: 三边关系。

师:好!请坐!那么直角三角形三边到底有怎样的关系呢?这节课我们就来共同探究这个问题。我们把直角三角形放在网格中，假设网格中的每一个小正方形的边长为1，那么直角三

角形两直角边的长度分别为多少?

生: 两直角边的长度都是2。

师:现在我们以三边为边向外做正方形，你能得出三个正方形的面积吗?谁有结果? 生1: 正方形A的面积等于4。

师:继续!

生2:正方形B的面积等于4，正方形C的面积是8。

师: 你是怎样求C的面积的?

生: 我把它构造成两个直角三角形。

师:好!你上前边来给大家讲一讲!

生:(生上台讲解)将正方形C沿着中间那条对角线分开，得到两个直角三角形。他们的底边是4，高分别都是2，然后用面积进行计算。

师: 很好!请回!这种计算面积的方法是用的割，还是补?

生:(齐)割。

师: 你能用补的方法吗?谁来说一下?

生:(生上台讲解)围着正方形C用这四条边为边和这四个直角三角形组成一个大正方形，用大正方形的面积减去这四个直角三角形的面积就等于C的面积。

师: C的面积为多少?

生:8。

师:谁同意?

生:(举手)。

师:好!请回!那么三个正方形的面积有怎样的关系呢?

生: 正方形A的面积加上B的面积等于C的面积。

师:那么右图中的直角三角形是否也有这样的结论呢?我们看：这个直角三角形两直角边分别为多少?

生: 上边那个直角边是3，左边那个直角边是4。

师: 我们用同样的方法向外作正方形，你能计算三个正方形的面积吗?

生: 正方形A的面积是9，B的面积是16，C的面积是25。

师:你怎么求的C的面积?

生:(生上台讲解)用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，结果等于25。 师:你用的是割还是补?

生:(齐)补。

师:那么怎么用割的方法呢?

生:。。。。。(思考)

师: 谁能用割的方法求正方形C的面积?

生:。。。。。(思考)

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